1.1 Relaciones.
Si es una comunicacion, usaremos la notacion , que se lee “ esta relacionado por con “, o Solamente “ esta relacionado con “, para indicar el hecho sobre que . Si diremos que “ nunca esta relacionado por con ” desplazandolo hacia el pelo usaremos la notacion . Tambien, el combinado se dira total de partida, y conjunto de venida (o ruta) sobre .
Sea una comunicacion. Definimos su dominio por , y no ha transpirado su fama por . El conjunto puede llamarse dibujo sobre la conexion asi como se anota . Seria directo que , No obstante en general no seria cierta la igualdad como conjuntos.
Toda funcion induce an una contacto. Si resulta una mision, la trato asociada seria , en donde el combinado sobre pares ordenados esta cubo por
Claramente se cumple que , e
Igualdad sobre relaciones sobre la definicion sobre comunicacion igual que una terna, seria directo que dos relaciones y no ha transpirado son iguales ssi . A su ocasion, es ademas Naturalmente que si , por lo tanto sobre aca que se cumple
1.2 Relaciones donde .
Ej significativo
Estudiemos las 4 propiedades anteriores para la comunicacion en tal que
a donde seria un natural fijo. Esta conexion se llama de congruencia modulo asi como si decimos que “ seria congruente con modulo “, o que “ es lo mismo a modulo “. Son usuales las notaciones (mod ) o . Simetria Sean tales que . Tenemos que probar que . Conocemos que . Sea igual que . Despejando se tiene que , en otras palabras hemos visto un inalterable semejante que lo que prueba que . Refleja Sea . sitio de citas jaumo Hemos examinar que . En otras palabras hay que dar con tal que . Basta recibir , con lo que desplazandolo hacia el pelo se concluye que . Transitividad Sean tales que . Tenemos que tratar que . Se goza de de un exacto , desplazandolo hacia el pelo de un cierto . Seguidamente, despejando, se obtiene . Hemos encontrado un entero semejante que , posteriormente . Antisimetria nunca lo es En Caso De Que puesto que, por ejemplo En Caso De Que , se dispone de que y Igualmente aunque . En caso de que , la trato es la igualdad en , por lo que no es sorprendente que sea Ademi?s antisimetrica. Tambien esta contacto cumple las subsiguientes prestaciones (a) . (b) . En resultado, la hipotesis quiere decir que , de ciertos . (a) Sumando estas ecuaciones, obtenemos , de donde sale que . (b) Multiplicando las mismas ecuaciones, obtenemos , de en donde sale que .
Prototipo La contacto sobre divisibilidad en es un orden parcial y la contacto seria un orden total.
1.3 Relaciones sobre equivalencia.
Recordemos que una relacion en seria sobre equivalencia ssi seria refleja, simetrica desplazandolo hacia el pelo transitiva.
Ejemplo Considere la comunicacion sobre congruencia modulo 2 en ( ). En esta conexion seria el comun de las pares, seria el grupo de los enteros impares, son las impares, . En este ejemplo existen solo 2 tipos de equivalencia distintas y . Observemos que . Tambien . Prestaciones
Las 2 prestaciones anteriores Posibilitan fijar la particion de .
Esto es, la clan de subconjuntos de , 2 a dos disjuntos, cuya vinculacion es . Sobre manera mas precisa, existe un conjunto sobre subconjuntos no vacios de , (que sera la particion sobre ), tal que si por lo tanto (dos a 2 disjuntos) asi como
Esta ultima liga se entiende igual que sigue
La particion que nos interesa crear seria la formada por las tipos sobre equivalencia sobre , en otras palabras,
Este grupo se llama comun cociente sobre , desplazandolo hacia el pelo se suele anotar tambien como .
Prototipo relevante
De , dar con el comun cociente de por la contacto sobre equivalencia , que denotamos por (los “enteros modulo p”). Denotamos a la tipo de equivalencia de como . Echemos un vistado a primeramente un par de casos triviales
Si , conocemos que seria la igualdad en , asi como entonces de cada . Despues . En caso de que , por lo tanto es directo que , por lo que hay la sola tipo sobre equivalencia Con El Fin De todo el mundo las enteros , y no ha transpirado (un grupo con un solo elemento).
En seguida supondremos que . Esta es la restriccion que generalmente se impone cuando se utilizan las congruencias modulo en la acto. Haremos funcii?n de la division de numeros enteros, que se puede enunciar igual que sigue Si desplazandolo hacia el pelo , por lo tanto existe una unica pareja sobre enteros , llamados respectivamente cociente y no ha transpirado resto de la division sobre por , tales que , asi como ademas .
Si es un entero cualquier, dividiendolo por obtenemos , con . Aunque esta ecuacion dice que , en otras palabras, que . Sobre aqui que las tipos de equivalencia de son solo . Aparte estas clases son diversas entre si, puesto que si , Con El Fin De , por lo tanto . Sin embargo como ademas , por lo tanto la unicidad de la division de por entrega .
Concluimos entonces que , desplazandolo hacia el pelo tiene exactamente elementos.
Estructuras Algebraicas
1.4 Leyes sobre composicion interna
Con el fin de simplificar la notacion, muchas veces se eliminan inclusive los parentesis sobre la notacion de clases sobre equivalencia en , escribiendo . Suele Ademi?s denotarse el + de igual que y el de igual que . Con estas convenciones, el prototipo 1 es sencillamente la suma y no ha transpirado el articulo en , y el ejemplo 2 corresponde a la suma en .
1.5 Propiedades basicas de las l.c.i
Dominio El neutral, cuando existe, seria unico (y tenemos por lo tanto derecho a hablar sobre el neutral).
En resultado, supongamos que Hay neutros asi como . Posteriormente .
Asociatividad Decimos que la l.c.i. en es asociativa ssi
Puntos inversos Si existe neutral , decimos que goza de an igual que inverso, o que es un inverso de ssi
En general, un inverso de no seria unico. Cuando sea unico lo denotaremos . Una requisito de unicidad es la siguiente,
Dominio En Caso De Que dispone de neutro y no ha transpirado seria asociativa por lo tanto los inversos son unicos.
En fin, sean tales que asi como . Despues operando por la primera igualdad por la izquierda se obtiene . Igual que la ley seria asociativa por lo tanto , de lo que deducimos que .
Conmutatividad Decimos que la l.c.i. en es conmutativa ssi
Supongamos que resulta una estructura algebraica asociativa y no ha transpirado con neutral